منبع پایان نامه درباره شبیه سازی

^((-μ_h)/(K_B T_e )) )+(K_B T_0 )^2 Li_2 (-e^((-μ_0)/(K_B T_0 )) ))
‏426
n_ex ℏω=4/π 〖(K_B T_e)〗^3/〖(ℏυ_0)〗^2 {〖-Li〗_3 (-e^(μ_e/(K_B T_e )) )-Li_3 (-e^(〖-μ〗_h/(K_B T_e )) )}-4/π 〖(K_B T_0)〗^3/〖(ℏυ_0)〗^2 {〖-Li〗_3 (-e^(μ_0/(K_B T_0 )) )-Li_3 (-e^(〖-μ〗_0/(K_B T_0 )) )}
که در معادلات بالا υ_0=〖10〗^6 m/s سرعت فرمی است و T_e و T_0 به ترتیب دمای الکترون درست بعد از انتقال به نوار رسانش و دمای شرایط تعادل الکترون است. μ_h و μ_e پتانسیل شیمیایی حفره و الکترون درست بعد از برخورد لیزر و μ_0 پتانسیل شیمیایی گرافن در شرایط تعادل است. و معادلات به این صورت نوشته شده‌اند که معنای معادله ‏424 این است که چون طبق فرض تعداد الکترون‌ها قبل و بعد از دمش یکسان است، این معادله تعداد کل الکترون‌ها بر واحد سطح را در شرایط اولیه می‌دهد. معادله ‏425 معنایش این است که اختلاف تعداد حفره‌ها در شرایط تعادلی و غیر تعادلی بیانگر میزان به وجود آمدن (برانگیختگی) حفره‌ها در دو حالت است. و معنای معادله ‏426 این است اختلاف انرژی سیستم در شرایط برانگیخته و تعادل با انرژی داده شده به سیستم برابر است. البته اعتبار معادله 426 تا زمانی است که انرژی از سیستم هدر نرفته است و این یعنی اعتبار معادله در همان حدود چند ده فمتو ثانیه بعد از دمش گرافن توسط لیزر است.
برای حل این معادلات نیاز به جملات ساده‌تری داریم گرچه که حل این معادلات هم مشکلی ندارد ولی رسیدن به معادلات ساده ولی دقیق در یک مسئله فیزیکی بسیار مطلوب است. برای این کار معادلات مربوط به تابع پلی لگاریتم را بسط می‌دهیم:
‏427 Li_2 (-e^((-μ)/(K_B T)) )=-e^((-μ)/(K_B T))
‏428 Li_2 (-e^(μ/(K_B T)) )=-π^2/12-(μ/(K_B T))^2/2-((μ/(K_B T)))/16
‏429 Li_3 (-e^((-μ)/(K_B T)) )=-e^((-μ)/(K_B T))
‏430 Li_3 (-e^(μ/(K_B T)) )=-π^2/6 (μ/(K_B T))-〖(μ/(K_B T))〗^3/6
برای آلاییدگی مثبت می‌توان جملات ‏427 و ‏429 را نادیده گرفت و علت آن هم کوچکی فوق العاده این توابع است. اما برای بررسی دقت تابع بسط داده شده ‏427 آن را در نمودار زیر رسم می‌کنیم و با تابع اصلی مقایسه می‌کنیم. همانطور که مشاهده میشود حذف این تابع از محاسبات به علت کوچک بودن آن منطقی است، چون در فرآیند لیزر گرافن معمولا با اعدادی برای پتانسیل شیمیایی و دما روبرو هستیم که سهم این تابع را در جواب به شدت کم می‌کند که البته در شکل ‏44 هم کوچکی این تابع معلوم است.

شکل ‏44 مقایسه تابع اصلی A=Li_2 (-e^(-x) ) خط و تابع بسط داده شده B=-e^(-x) خط چین
حال به بررسی تابع بسط داده شده در معادله ‏428 می‌پردازیم. این تابع را در دو حالت می‌توان بررسی کرد: اول در بحث محاسبه عددی آن تابع که در آن صورت چون سهم جمله آخر در جواب خیلی زیاد نیست می‌توان آن را حذف کرد که در شکل ‏45 و شکل ‏46 علاوه بر مقایسه تابع بسط داده شده با تابع اصلی سهم جمله آخر را هم می‌توانیم ببینیم:

شکل ‏45 مقایسه تابع اصلی C=Li_2 (-e^x ) خط و تابع بسط داده شده D=-π^2/12-(x)^2/2-x/16 خط چین

شکل ‏46 مقایسه تابع اصلی E=Li_2 (-e^x ) خط و تابع بسط داده شده F=-π^2/12-(x)^2/2 خط چین
همان‌طور که در شکل ‏45 و شکل ‏46 مشاهده می‌کنیم بسط تابع با خود آن تطابق بسیار بالایی دارد. همچنین واضح است که این دو نوع بسط یعنی با جمله آخر و بدون آن، تاثیری ندارد. در فرآیند جمعیت معکوس، معمولا عددها طوری است که در مقادیر بالاتری از مقدار x نتایج اتفاق می‌افتد. برای این مقادیر در شکل ‏47 تطابق تابع بسط داده شده و اصلی را مشاهده می‌کنیم. هر چه مقدار x بالاتر می‌رود تطابق بیشتر می‌شود و به علت عدم تشخیص دو تابع در مقادیر بالا، آن‌ها را در شکل‌های قبل در مقادیر کم x رسم کردیم. گفتیم که تابع را در دو حالت می‌توان بررسی کرد که اولی از لحاظ مقداری بود که یعنی مقدار x در تابع اصلی و بسط داده شده چقدر تفاوت دارد. معنی آن این است که مثلا ما به جای تابع سینوس اگر بسط آن را بخواهیم قرار دهیم به ازای بازه عددی که داریم چند جمله آن کافی است. پس اینجا اگر هدف محاسبه در این بازه که گفتیم باشد قرار دادن جمله -x/16 نیازی نیست چون بدون این جمله هم ما دقت بالایی داریم. اما حالت دوم که ما در حل با آن مواجه شدیم این بود که اگر بخواهیم بحث حل تابع در دستگاه معادلات و بدست آوردن جواب را بررسی کنیم. در این حالت استفاده از جمله آخر یعنی -x/16 جواب محاسبه شده را بهبود می‌بخشد. پس در حالت اول استفاده از جمله -x/16 اختیاری است. و چون تاثیر عددی قابل توجهی در جواب ندارد اگر استفاده نشود بهتر است چون آن را ساده‌تر می‌کند. معادله ‏429 نیز دقیقا مثل ‏427 بسیار کوچک است و رفتار آن هم عینا شبیه آن است و بسط و تابع اصلی تطابق بالایی دارد که ذکر آن به دلیل حذف این جمله در محاسبات در اینجا لزومی ندارد.

شکل ‏47 مقایسه تابع اصلی G=Li_2 (-e^x ) خط و تابع بسط داده شده H=-π^2/12-(x)^2/2-x/16 خط چین در مقادیر بالای x. مشاهده می‌شود هر چه مقدار زیادتر می‌شود تطابق بهتر می‌شود.
در شکل ‏48 تابع اصلی و بسط را برای معادله ‏430 مشاهده می‌کنید. این بار نیز به دلیل تطابق بالایی که در مقادیر x بالا داریم آن را در مقادیر کم x رسم کرده‌ایم.

شکل ‏48 مقایسه تابع اصلی I=Li_3 (-e^x ) خط و تابع بسط داده شده J=-π^2/6 (x)-〖(x)〗^3/6 خط چین
تا اینجا توابع موجود در معادلات ‏424 تا ‏426 را برای رسیدن به یک رابطه ساده‌تر بسط دادیم. حال به معادله نهایی که باید حل کنیم می‌رسیم:

‏431
{█(T_e^2 [(μ_e/(K_B T_e ))^2/2+((μ_e/(K_B T_e )))/16-(μ_h/(K_B T_e ))^2/2-((-μ_h/(K_B T_e )))/16]=T_0^2 [π^2/12+(μ_0/(K_B T_0 ))^2/[email protected]+((μ_0/(K_B T_0 )))/16]@n_ex=2/π (1/(ℏυ_0 ))^2 (K_B T_e )^2 [π^2/12+(μ_h/(K_
B T_e ))^2/2+((-μ_h/(K_B T_e )))/16]@n_ex ℏω=4/π (K_B T_e )^3/(ℏυ_0 )^2 [π^2/6 (μ_e/(K_B T_e ))+(μ_e/(K_B T_e ))^3/6+π^2/6 (-μ_h/(K_B T_e ))@+(-μ_h/(K_B T_e ))^3/6]+4/π (K_B T_0 )^3/(ℏυ_0 )^2 [-π^2/6 (μ_0/(K_B T_0 ))-(μ_0/(K_B T_0 ))^3/6])┤
همان‌طور که در سه معادله ‏431 معلوم است جمله Li_2 (-e^((-μ_0)/(K_B T_0 )) ) حذف شده است. علت آن این است که در اینجا برای آلاییدگی مثبت محاسبه را انجام می‌دهیم. علت این که در کارهای بالا اثبات کردیم که بسط با معادله اصلی تطابق بالایی دارد این است که در منابع بسط تابع پلی لگاریتم به‌صورت Li_s (z)=∑_(k=1)^∞▒z^k/k^s آمده است. همان‌طور که مشاهده می‌کنید بسط‌های ما کمی از بسط مشهور برای این تابع متفاوت است پس اینجا نیاز داشتیم توابع بسط پیشنهاد داده شده را راستی آزمایی کنیم. از حل دستگاه معادله‌ی ‏431 سه کمیت T_e و μ_h و μ_e را بدست می‌آوریم. حال نتیجه محاسبه معادله ‏431 را برای دمای اولیه 300 k و آلاییدگی μ_0=0.4 ev و انرژی دمش 1.55 ev انجام می‌دهیم و با مقادیر بدست آمده از آزمایش [51] مقایسه می‌کنیم که در شکل ‏49 و شکل ‏410 رسم شده است. با مقایسه شکل ‏49 و شکل ‏410 متوجه تطابق خوب تئوری و نتیجه آزمایش می‌شویم. هر دو این شکل‌ها به‌صورت نرمال شده به رسانندگی در شرایط تعادل گرافن بدست آمده‌اند. در شکل ‏49 منظور از σ_Peak این است که بعد از برخورد پالس لیزر به گرافن این پالس یک شکل موج دارد که مثلا گاوسی است. حال اگر حداکثر مقدار آن را در هر مرحله در نظر بگیریم و رسانندگی الکتریکی آن را محاسبه کنیم به آن σ_Peak می‌گوییم. در شکل ‏49 و شکل ‏410 قسمت رسانندگی مثبت مربوط است به فرآیند افت و رسانندگی منفی مربوط به فرآیند تقویت است. مشاهده می‌شود وقتی تعداد الکترون‌های برانگیخته به حدود4.2×〖10〗^13 cm^(-2) می‌رسد سیستم دارای بهره می‌شود.

شکل ‏49 تغییرات چگالی حامل‌ها بر واحد سطح بر حسب رسانندگی نرمال شده به رسانندگی شرایط تعادل در حداکثر شدت موج تابانده شده بر اساس نتایج آزمایشگاهی. قسمت خاکستری Gain را نشان می‌دهد.

شکل ‏410 تغییرات چگالی حامل‌ها بر واحد سطح بر حسب رسانندگی نرمال شده بر اساس نتایج شبیه سازی. قسمت خاکستری Gain را نشان می‌دهد.
حال به بررسی دمای الکترون‌ها در این بازه می‌پردازیم. در همان شرایط آزمایشگاهی که نتایج شکل ‏410 بدست آمد دمای الکترون‌ها به‌صورت شکل ‏411 تغییر می‌کند:

شکل ‏411 تغییرات چگالی حامل‌ها بر واحد سطح بر حسب دما. قسمت مشخص شده در شکل بازه اعتبار معادله برای این شرایط آزمایشگاهی خاص است.
در شکل ‏411 تغییرات دما را مشاهده می‌کنیم و همان‌طور که معلوم است بلافاصله بعد از دمش گرافن، دمای الکترون‌های آن( از 300 کلوین در برانگیختگی صفر) به حدود 1500 کلوین در برانگیختگیcm-2 2.4×1012 می‌رسد. دمای الکترونها حدودا تا حداکثر 2300 کلوین بالا می‌رود. دمایی که در آن به جمعیت معکوس می‌رسیم حدود 2000 کلوین است. علت افزایش و کاهش دما این است که بلافاصله بعد از برانگیختگی دمای الکترون‌ها بالا می‌رود اما بعد از زمان‌های ذکر شده در فصل سوم فرآیند برخورد شروع می‌شود. در این شرایط الکترون‌ها شروع به سرد شدن می‌کنند و دمای آن‌ها به دمای 300 کلوین نزدیک می‌شود. البته همان‌طور که گفتیم اعتبار معادلات نوشته شده در حدودی است که انرژی از سیستم هدر نرود و در حقیقت به یک تعادل نسبی برسیم. در هر دمای اولیه بدون برانگیختگی، آلاییدگی و انرژی مورد استفاده دمای الکترونهای برانگیخته متفاوت است. این یعنی رفتار نمودار دما برای بررسی اعتبار معادلات ملاک مناسبی است. که در شکل ‏411 بازه اعتبار حدودی برای شرایط آزمایشی ذکر شده مشخص شده است. در مکان‌هایی که خیلی دور از حداکثر برانگیختگی نیست معادلات قابل استفاده است. در ادامه به وضعیت پتانسیل شیمیایی در این بازه برانگیختگی برای شرایط آزمایش ذکر شده می‌پردازیم. همان‌طور که در شکل ‏412 مشاهده می‌کنیم پتانسیل شیمیایی الکترون‌ها µ+ در برانگیختگی نزدیک به صفر همان مقدار آلاییدگی اولیه گرافن یعنی 0.4 ev را دارد. با افزایش برانگیختگی مقدار آن به علت افزایش الکترون‌ها در نوار رسانش افزایش می‌یابد. اما برای نوار ظرفیت در ابتدا چون تعداد حفره‌ها صفر است و سیستم با یک پتانسیل شیمیایی یکسان تعریف می‌شود مقدار µ- صفر است(مقداری که با محور فاصله دارد در شکل ‏412 خطای شبیه سازی است). همین طور که مقدار برانگیختگی زیاد می‌شود قدر مطلق پتانسیل شیمیایی حفره‌ها هم زیاد می‌شود. در شکل ‏413 برای انرژی‌های 1.3 ev و 1.55 ev و 1.7 ev رسانندگی را رسم کرده‌ایم. میزان برانگیختگی لازم برای رسیدن به حالت تقویت در هر انرژی مشخص است. پس به‌طور خلاصه در این بخش یک روش برای محاسبه مقدار رسانندگی تحت انرژی‌های مختلف ارائه کردیم که در مقایسه آن با تئوری فرض بر این بود که مقادیر مورد بحث در ماکزیمم هر پالس اندازه‌گیری شده است.

شکل ‏412 تغییرات چگالی حامل بر واحد سطح برانگیخته شده بر حسب پتانسیل شیمیایی برای الکترون µ+ و حفره µ-

شکل ‏413 رسانندگی بهنجار شده به رسانندگی حالت بدون میدان گرافن برای سه انرژی 1.3 ev نقطه چین و 1.55 ev خط چین 1.7 ev خط حالت تقویت را در قسمت رسانندگی منفی مشاهده می‌کنیم.

بررسی جمعیت وارون در گرافن با روش تابع انتقال بولتزمن
در این بخش ابتدا هامیلتونی گرافن را بررسی می‌کنیم. سپس نرخ گذار را برای حالت فونون-حامل و فوتون-حامل می‌نویسیم. در نهایت با استفاده از معادلات تعادل66 که بر پایه معادله انتقال بولتزمن نوشته شده اس
ت و رابطه مربوط به تعداد کل حامل‌ها، پتانسیل شیمیایی حفره‌ها و الکترون‌ها را بدست می‌آوریم. فرض برای این محاسبه آن است که گرافن روی زیر لایه SiC به صورت رشد هم بافته قرار گرفته است و پتانسیل شیمیایی اولیه آن غیر صفر است. قطبش نور فرودی به گرافن در جهت x میباشد. حال اگر بر هم کنش پرتو نور و حامل ها در گرافن و بر هم کنش حامل-فونون را به صورت یک اختلال در نظر بگیریم هامیلتونی به شکل ‏432 است:
‏432
H=H_0+H_Perturbation
که H_0 هامیلتونی گرافن در حالت غیر اختلالی است که به‌صورت ‏433 است:
‏433 H_0=v_f σ.P
که σ ماتریس پاولی است و به‌صورت ‏434 تعریف می‌شود:
‏434
σ_x=(■(0&[email protected]&0)) , σ_y=(■(0&[email protected]&0)) , σ_z=(■(1&[email protected]&-1))
هامیلتونی گرافن به‌صورت ‏435 است:
‏435
H_0=v_f (■(0&[email protected]_x+iP_y&0))
هامیلتونی اختلالی را به‌صورت ‏436 می‌نویسیم:
‏436 H_Perturbation=H_(C-phot)+H_(C-phon)
که H_(C-phot) مربوط به بر هم کنش حامل و نور فرودی و H_(C-phon) مربوط به بر هم کنش فونون و حامل است. برای بدست آوردن بر هم کنش حامل و نور فرودی از پیمانه کلمب67 استفاده می‌کنیم که به‌صورت P→P+eA(t) که در آن به‌جای e قدر مطلق بار الکترون را قرار می‌دهیم. پس برای هامیلتونی بر هم کنش نور و گرافن رابطه ‏437 را داریم:
‏437
H_(C-phot)=eA_x (t) V_f (■(0&[email protected]&0))
همان‌طور که گفته شد قطبش نور فرودی در جهت x است که در معادله ‏437 اعمال شده است. در آن A_x (t)=(F_0 Sin(ωt))/ω است که F0 شدت میدان الکتریکی و ω فرکانس نور تابانده شده است. در ادامه به بررسی هامیلتونی حامل فونون می‌پردازیم. در اینجا فقط به بررسی فونون‌های اپتیکی می‌پردازیم چون در بازه زمانی که جمعیت معکوس را داریم، دما بسیار بالاست، که در این دمای بالا فونون‌های اپتیکی در سیستم وجود دارند[52]. برای محاسبه هامیلتونی فونون اپتیکی ابتدا تابع زیر را معرفی می‌کنیم68[55]:
‏438
u(r)=∑_(q,ζ)▒〖√(ℏ/(2NMω_0 ))(b_qζ+b_(-qζ)^†)e_ζ (q)e^(iq.r) 〗
که N تعداد سلول‌های واحد و M جرم هر اتم کربن و ω_0 فرکانس فونون اپتیکی در نقطه Γ به میزان 0.196 ev است. q=(q_x,q_y) بردار موج و ζ نشان دهنده نوع موج یعنی عرضی t یا طولی l و در نهایت b_(-qζ)^† و b_qζ نشان دهنده عملگرهای خلق و فنا است. بردارهای موج را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:
‏439 q_x=qCosφ(q), q_y=qSinφ(q)
که در آن q=|q| است. e_ζ (q) برای مدهای طولی و عرضی به‌صورت روابط زیر است:
‏440
e_l (q)=i(Cosφ(q), Sinφ(q)), e_t (q)=i(-Sinφ(q),Cosφ(q))
بر هم کنش الکترون و فونون اپتیکی در نقطه K به‌صورت زیر است:
‏441
H_(C-phon)^K=-√2 βγ/b^2 σ×u(r), H_(C-phon)^(K^’ )=-√2 βγ/b^2

دیدگاهتان را بنویسید