منبع پایان نامه درباره شبیه سازی

در انرژی‌های خاصی در نوارها بررسی می‌کنند. در روش آزمایش قبل[31] امکان اندازه‌گیری زمان باز ترکیب حامل‌ها نیست. در دمای اتاق پاسخ نوری گرافن در ناحیه تراهرتز غالبا داخل نواری و با حامل‌های آزاد است و اگر از این ناحیه فرکانسی استفاده کنیم می‌توانیم به بررسی فرآیندهای بازترکیب نیز بپردازیم.

شکل ‏33 فرآیندهای بازترکیب در گرافن بعد از برخورد پالس
همان‌طور که بیان کردیم واهلش در گرافن شامل سه مرحله است:
الف-مرحله اول برخورد حامل-حامل است که این برخورد بسیار سریع شروع میشود[27, 33]. که این زمان بسیار کوتاه‌تر از دقت پالس لیزر است به ‌طوری که حتی در همان زمان برخورد پالس لیزر پراکندگی شروع و محلی که الکترون به آن انتقال یافته بود به سرعت خالی می‌شود. همان‌طور که گفته شد این مرحله بسته به دقت زمانی پالس لیزر است و کوتاه‌ترین زمانی که اندازه‌گیری شده است حدود 10 fs و حداکثر تا 150 fs طول میکشد[30, 32].
ب-مرحله دوم τ_2 که شامل به وجود آمدن فونون است این مرحله بعد از واهلش اولیه به وجود می‌آید و می‌تواند حداکثر زمانی بین 100 fs تا 1 ps داشته باشد[30, 32]. در این مرحله ما می‌توانیم تولید فونون ناشی از واهلش الکترون را داشته باشیم. حداکثر عمر فونون در یک بررسی 1.2 ps تخمین زده شده است[34].
پ-مرحله سوم τ_3 که همان بازترکیب الکترون و حفره و رسیدن به توزیعی با یک پتانسیل شیمیایی یکسان برای الکترون و حفره است، حداکثر حدود 1 ps تا 15 ps طول می‌کشد[32]. در گرافن به علت عدم وجود گاف و طول موج فونون اپتیکی حدود 196 mev یکی از مهم‌ترین فرآیندهای بازترکیب، اوژه است[32, 35]. ترکیب الکترون و حفره در گرافن بر اثر فرآیند اوژه دو صورت دارد[35]:
I-یک الکترون در نوار رسانش با تکانه اولیه k1 با یک الکترون در نوار رسانش با تکانه k2 برخورد می‌کند و در اثر این برخورد یک الکترون با تکانه k1+Q در نوار رسانش و یک الکترون با تکانه k2-Q در نوار ظرفیت به وجود می‌آید. این فرآیند در شکل ‏34 قسمت a رسم شده است.
II-یک حفره در نوار ظرفیت با تکانه اولیه k1 با حفره دیگر در نوار ظرفیت با تکانه k2 برخورد

شکل ‏34 فرآیند اوژه برای a-الکترون‌ها و b-حفره‌ها [35].
میکند و نتیجه‌اش یک حفره با k2-Q در نوار رسانش و یک حفره با k2+Q در نوار ظرفیت است. این فرآیند در شکل ‏34 قسمت b رسم شده است. فرآیند اوژه در گرافن اگر شدت پالس زیاد باشد مقداری فروکش می‌کند[36] و امکان تکثیر حامل‌ها51 فراهم می‌شود.
نتیجه طیف نگاری دمش-کاوشگر در مورد خواص نوری گرافن
تغییر عبور ∆T/T بعد از برخورد پالس در شکل ‏35 آمده است[31]. این نتایج نشان می‌دهد که بعد از برخورد پالس یک افزایش در عبور داریم که این افزایش نتیجه گذار الکترون‌ها به نوار رسانش و پر کردن آنجا است به طوری که بعد از این جذب به نزدیک صفر می‌رسد و شفاف شدن ماده را سبب می‌شود.

شکل ‏35 تغییرات عبور که با ∆T/T نشان داده شده بر حسب زمان سپری شده از برخورد پالس با دقت 85 fs [31].
همچنین این نتیجه نشان می‌دهد که عبور ماده در دو مرحله تغییر می‌کند که مرحله ابتدایی(τ1) بین 0.07-0.12 ps طول می‌کشد و مرحله دوم(τ2) بین 0.4-1.7 ps به طول می‌انجامد. این بررسی توسط دمش با دقت 85 fs صورت گرفته است. در بررسی دیگر که توسط یک دمش با دقت 7 fs صورت گرفته است نتایج نشان می‌دهد τ1 حامل‌ها حدود 13±3 fs است و τ2 حامل‌ها حدود 100 fs ثانیه است که در شکل ‏36 نتایج آمده است[30].

شکل ‏36 تغییرات عبور بر حسب زمان سپری شده از برخورد پالس با دقت 7 fs [30].
حال به تفسیر این رفتار یعنی علت تغییر در ضریب عبور می‌پردازیم. بلافاصله بعد از برخورد پالس به گرافن بعضی از جاهای خالی نوار هدایت پر می‌شود و همان‌طور که گفتیم عبور ماده افزایش می‌یابد. در حین این افزایش برخورد حامل-حامل را داریم که سبب می‌شود در زمان τ1 ما به یک وضعیت شبه تعادلی برسیم. بعد از این مرحله، برخورد الکترون-فونون را داریم که در زمان τ2 اتفاق می‌افتد. در نهایت بازترکیب حامل‌ها را داریم. این نتایج بیان می‌کند سناریو دوم در مورد گرافن صحیح است. در ضمن اگر نتایج آزمایش‌های مختلف را بررسی کنیم مشاهده می‌شود τ1 تقریبا از مرتبه و در بازه دقت پالس لیزر است.
چگونگی مدل کردن گرافن برای شبیه سازی تقویت52(براساس نتایج طیف نگاری)
هنگامی که پالس لیزر به گرافن برخورد می‌کند و پس از فرآیند واهلش اولیه یعنی برخورد حامل-حامل گرافن به وضعیتی می‌رسد که دارای یک توزیع تعادلی موقت از الکترون و حفره است. در بازه زمانی بعد از برخورد حامل-حامل و تولید فونون اپتیکی و تا رسیدن گرافن به زمان بازترکیب حامل‌ها ما یک توزیع جدا از حامل‌ها در نوار رسانش با پتانسیل شیمیایی متفاوت و یک توزیع جدا از حامل‌ها در نوار ظرفیت با پتانسیل شیمیایی متفاوت داریم. اما آیا دمای حفره و الکترون هم متفاوت است؟ برای پاسخ به این سوال باید توجه کنیم که ساختار باندی گرافن متقارن است پس نرخ فرآیند خنک شدن حامل‌ها برای الکترون و حفره یکسان است[30]. این یعنی دمای الکترونها و حفرهها یکسان میباشد اما با دمای شبکه گرافن متفاوت است. توجه شود این تفاوت تنها در بازه τ_11-باید از دو پتانسیل شیمیایی جداگانه برای نوار رسانش و ظرفیت ساخته شود.
2-باید دمای حامل‌ها از دمای شبکه متفاوت باشد.
3-5-1-مدل اول(مدل پدیده شناختی)
اولین مدل بر اساس اصل پدیده شناختی است. در این مدل فرض بر ا
ین است که (1) تعداد الکترون‌ها در سامانه ثابت است. (2) درست بعد از دمش الکترون‌ها در یک حالت تعادلی موقت قرار می‌گیرند. یعنی بعد از τ1 حالت‌های میانی در یک وضعیت شبه تعادلی قرار گیرند. (3) سامانه در این فاصله انرژی را از دست ندهد. این یعنی کل آن انرژی که به سامانه داده شده است، صرف برانگیختگی الکترونها از یک حالت پایه به حالت برانگیخته شود. در محاسبات این سه فرض تشکیل یک دستگاه معادله میدهند. معادله اول مربوط به چگالی الکترونی بر واحد سطح کل حامل‌ها در زمان قبل از انرژی دادن به سیستم است. معادله دوم بر اساس اختلاف چگالی الکترونی بر واحد سطح الکترون (یا حفره‌ها) قبل و بعد از برانگیختگی و معادله سوم بر اساس اختلاف انرژی سیستم قبل و بعد از برانگیختگی است. این سه فرض را در یک دستگاه قرار می‌دهیم و از حل سه معادله سه مجهول پتانسیل شیمیایی نوار رسانش و پتانسیل شیمیایی نوار ظرفیت و دمای حامل‌ها بدست می‌آید. برای حل این دستگاه معادله حداکثر برانگیختگی nex به عنوان متغیر مستقل به دستگاه معادله داده میشود و مجهولات را بدست میآوریم. nex چگالی الکترونی بر واحد سطح برانگیخته است. در نهایت این مقادیر را در رسانندگی که آن هم بر اساس تئوری‌های قبل یعنی جدا بودن آن سه کمیت است قرار می‌دهیم و مقدار آن را به دست می‌آوریم. این مقدار اگر منفی شود نشان دهنده تقویت نور فرودی است چون رسانندگی با جذب متناسب است و جذب منفی همان تقویت را بیان می‌کند.
3-5-2-مدل دوم(معادله انتقال بولتزمن53)
مدل بعدی که برای محاسبه سه کمیت بیان شده مورد استفاده قرار گرفته است مدل معادله انتقال بولتزمن است. ما برای محاسبه از این روش دو فرض را در نظر گرفته‌ایم. اول این که بر اساس بحث‌های قبل دمای الکترون در بازه τ_1حامل‌ها در نیمه هادی‌ها و فلزات می‌تواند به‌وسیله میدان خارجی یا گرادیان دما تحت تاثیر قرار گیرند. همچنین این حامل‌ها می‌توانند توسط ناخالصی‌ها یا امواج شبکه یا چیزهای دیگر پراکنده شوند. یکی از بهترین راه‌ها برای این بررسی استفاده از معادله نیمه کلاسیکی انتقال بولتزمن است. ما تمرکز بارها را در نقطه خاص r در فضا و درحالت k را با fk(r) نشان می‌دهیم. اثراتی که بر این بارها می‌تواند وجود داشته باشد عبارت‌اند از[37]:
I) اول این که حامل‌ها به منطقه r داخل و وارد می‌شوند. حال فرض می‌کنیم vk سرعت حامل در حالت k است پس حامل‌ها در یک زمان t فاصله‌ای به اندازه tvk جابجا می‌شوند. حال با در نظر گرفتن قضیه لیوویل54 تعداد حامل‌ها در همسایگی r در زمان t مساوی است با تعداد آن‌ها در همسایگی r=tvk در زمان صفر یعنی fk(r,t)=fk(r-tvk,0) و این یعنی نرخ تغییر توزیع ناشی از انتشار55 به‌صورت معادله ‏31 است:
‏31 (∂f_k)/∂t |_diff=-v_k.(∂f_k)/∂r=-v_k.∇f_k
II) دوم این که میدان خارجی تکانه هر ذره را عوض می‌کند ما نرخ تغییر بردار k را به‌صورت معادله ‏32 مینویسیم(در دستگاه CGS):
‏32 k ̇=e/ℏ(E+1/c v_k×H)
این رابطه را می‌توان به‌عنوان سرعت حامل در فضای k در نظر گرفت. پس می‌توان برای تغییر سرعت حاملها در زمان t نسبت به زمان اولیه از طریق میدان خارجی نوشت f_k (r,t)=f_(k-(kt) ̇ ) (r,0) و نرخ آن به‌صورت معادله ‏33 است:
‏33
(∂f_k)/∂t |_field=-k ̇.(∂f_k)/∂k=-e/ℏ (E+1/c v_k×H). (∂f_k)/∂k

III) سومین اثر پراکندگی بارها است که اثری نسبتا پیچیده است. می‌توان رابطه ‏34 را برای این اثر نوشت:
‏34
(∂f_k)/∂t |_scatt=∫{f_(k^’ ) (1-f_k )-f_k (1-f_(k^’ ) )}Q(k,k^’)dk^’

فرآیند پراکندگی از k به k’ میزان fk را کاهش می‌دهد و احتمال وقوع این فرآیند به دو عامل fk یعنی تعداد حامل‌ها در حالت k و به (1- fk’) یعنی تعداد جاهای خالی در حالت نهایی k’ بستگی دارد. همچنین یک فرآیند معکوس وجود دارد که میزان fk را افزایش دهد که حامل‌ها از محل k’ به k حرکت کنند. حال اگر روی همه حالت‌های ممکن k’ جمع بزنیم و در Q(k,k’) ,که فاکتور احتمال انتقال از نقطه k به نقطه k’ است، ضرب کنیم، نرخ‌گذار را بدست آورده‌ایم. توجه شود که قضیه برگشت‌پذیری میکروسکپی56 بیان می‌کند که، یک تابع یکسان نرخ‌گذار از k’ به k را بیان می‌کند. حال معادله بولتزمن بیان می‌کند در هر نقطه و برای هر k تغییرات نرخ برای fk(r) صفر است:
‏35 (∂f_k)/∂t |_scatt+(∂f_k)/∂t |_diff+(∂f_k)/∂t |_field=0
توجه شود معادله ‏35 در شرایط تعادل پایدار57 و نه در شرایط تعادل58 نوشته شده است.
ما برای رسیدن به هدف یعنی محاسبه µe و µh به جای حل کامل معادله انتقال بولتزمن از روش معادله بالانس59[38] استفاده می‌کنیم. معادله بالانس بر پایه معادله انتقال بولتزمن است. ما از معادله بالانس به این صورت استفاده می‌کنیم که، جمله پراکندگی معادله بولتزمن را
می‌نویسیم و با در نظر گرفتن فرآیندهای مختلف پراکندگی معادله را در شرایط تعادل پایدار می‌نویسیم. معادله دوم هم از طریق نوشتن چگالی الکترونی بر واحد سطح برای کل الکترون‌ها نوشته شده و از حل این دو معادله µe و µh را بدست می‌آوریم. توضیحات بیشتر در مورد معادله بالانس و حل آن را در فصل چهارم خواهیم آورد.

فصل چهارم: بررسی جمعیت وارون در گرافن

بررسی جمعیت وارون در گرافن
مقدمه
در این فصل ابتدا رسانندگی گرافن را بدست می‌آوریم. بعد رابطه رسانندگی و تقویت نوری را بیان خواهیم کرد. سپس جمعیت معکوس در گرافن را بررسی می‌کنیم که این کار از دو روش که یکی بر اساس پدیده شناختی است و دیگری بر اساس معادله انتقال بولتزمن انجام میشود.
محاسبه رسانندگی الکتریکی گرافن
جذب نوری در گرافن به دو صورت انتقال بین نواری و داخل نواری است و این دو انتقال بستگی به طول موج تابیده شده به گرافن است. در مادون قرمز دور پاسخ نوری گرافن غالبا داخل نواری و در ناحیه مادون قرمز میانی و نزدیک پاسخ نوری بین نواری است. در بررسی این رساله طول موجهای استفاده شده در مادون قرمز نزدیک است. بررسی رسانندگی گرافن در مقالات متعددی[39-44] صورت گرفته است. برای محاسبه رسانندگی الکتریکی گرافن از روش کوبو استفاده شده است.
برای محاسبه ابتدا هامیلتونی گرافن را در مدل تنگ بست به‌صورت معادله ‏41 می‌نویسیم[43]:
‏41 H=-t∑_(R,σ)▒∑_(δ=δ_1-δ_3)▒〖[a_σ^† (R)b_σ (R+δ)〗+H.C.]
در این جا تقریب نزدیکترین همسایه به کار رفته است و در آن a_σ^† (R) یک الکترون در زیر شبکه A تولید می کند و b_σ^† (R) یک الکترون در زیر شبکه B تولید می کند. t پارامتر جهش60 میباشد که مقدار آن حدود 3 ev است. بردار های δ در شکل‏41 نشان داده شده اند.

شکل‏41 گوشه ای از شبکه کلی گرافن
مقدار پارامترها بصورت δ_1=a/2(1,√3) و δ_2=a/2(1,-√3) و δ_3=-a(1,0) میباشند. در مدل تنگ بست پارامتر جهش در حضور میدان بصورت t→texp((ieA(t).δ)/ℏ) تغییر میکند[45]. پارامتر جهش در حضور میدان را به صورت زیر بسط می دهیم:
‏42 texp((ieA(t).δ)/ℏ)=t(1+(ieA(t).δ)/ℏ+〖((ieA(t).δ)/ℏ)〗^2)
حال اگر فرض کنیم جهت قطبش میدان در جهت x است عملگر چگالی جریان بصورت j_x=-∂H/(∂A_x (t)) است[45]. با فرض قطبش در جهت x میدان و محاسبه چگالی جریان، جواب به صورت j_x=j_x^p+A_x (t)j_x^D داریم که پارامتر های j_x^p و j_x^D به صورت زیر است:
‏43
j_x^D=(-2e^2 δ_x^2 t)/ℏ^2 ∑_(R,σ)▒∑_(δ=δ_1-δ_3)▒〖[a_σ^† (R)b_σ (R+δ)〗+H.C.]
‏44
j_x^p=iet/ℏ ∑_(R,σ)▒∑_(δ=δ_1-δ_3)▒〖[δ_x a_σ^† (R)b_σ (R+δ)〗+H.C.]

در رابطه بالا جمله j_x^p جریان پارامگنتیک می‌باشد که ناشی از تغییر شکل تابع موج در اثر میدان خارجی می‌باشد و جمله j_x^D جریان دیامگنتیک نام دارد[46]. همان طور که می‌دانیم رابطه چگالی جریان و میدان الکتریکی به صورت j=σE است. میتوان E را بر حسب پتانسیل برداری به صورت E=iωA نوشت. در اینجا فرض میشود که میدان، قطبشی در جهت x دارد. σ تانسور رسانندگی است. هدف اصلی در این بخش محاسبه تانسور رسانندگی گرافن است که این تانسور شامل مولفه های طولی و عرضی است. در اینجا مولفهی طولی یعنی σ_xx را با رابطه کوبو محاسبه میکنیم[43]:
‏45
σ_xx=( )/(iA_s [ω+i0^+])+(Λ_xx (ω+i0^+))/(iℏA_s [ω+i0^+])
که A_s مساحت کل گرافن با رابطه A_s=N_c A_c است به ‌طوری که جمله A_c مساحت یک سلول واحد در گرافن و N_c تعداد این سلول‌های واحد است. علت اضافه کردن این جمله در مخرج این است که افت و خیزهای اتمی را حذف کنیم[47]. معادله بالا رابطه کوبو برای رسانندگی الکتریکی است که برای استفاده از فرمالیسم ماتسوبرا61 تغییر iω→ω+i0^+ انجام شده است[47]. Λ_xx (ω+i0^+) از طریق تابع همبستگی جریان-جریان ماتسوبرا به صورت معادله ‏46 محاسبه می‌شود62[43]:
‏46
Λ_xx (iω_n )=∫_0^ℏβ▒〖dτ exp⁡(iω_n τ)
در آن T_τ عملگر ترتیب زمانی 63و β=1/(K_B T) است. فرمالیسم به کار رفته یکی از روشهای محاسبه تابع کوبو برای رسانندگی الکتریکی است که در کتاب فیزیک بس ذره‌ای توسط ماهان64به کار رفته است65[47]. رسانندگی الکتریکی کلی به دو بخش حقیقی و موهومی تقسیم می‌کنیم که هر جمله آن به‌صورت ‏47 و ‏48 است[43]:
‏47 Re(σ_xx)=Dδ(ω)+(Im(Λ_xx (ω+i0^+)))/(ℏωA_s )

‏48 Im(σ_xx )=-()/(A_s ω)-(Re(Λ_xx (ω+i0^+)))/(A_s ℏω)
حال برای محاسبه رسانندگی توجه می‌کنیم که تولید جمعیت وارون در لیزر در ناحیه فرکانسی مادون قرمز نزدیک یک فرآیند بین نواری است. D فاکتور درود است که در قسمت حقیقی رسانندگی ذکر شده و مستقیما متناسب با رسانندگی داخل نواری است[48]. در بازه فرکانسی ذکر شده امکان وقوع انتقال مستقیم داخل نواری در گرافن بسیار پایین است. پس برای محاسبه قسمت حقیقی رسانندگی بین نواری ابتدا فاکتور Im(Λ_xx (ω+i0^+)) را در معادله ‏49 معرفی می‌کنیم[43]:
‏49
Im(Λ_xx (ω+i0^+ ))=(t^2 e^2 a^2)/(8ℏ^2 ) ∑_k▒〖f(ϕ(k)){n_F (-t|ϕ(k)|-μ)〗-n_F (t|ϕ(k)|-μ)}{πδ(ω-2t|ϕ(k)|/ℏ)-πδ(ω+2t|ϕ(k)|/ℏ)}
که n_F تابع توزیع فرمی و μ پتانسیل شیمیایی است. f(ϕ(k)) به‌صورت ‏410 معرفی می‌شود[43]:
‏410
f(ϕ(k))=18-4|ϕ(k)|^2+18 (〖Re(ϕ(k))〗^2-〖Im(ϕ(k))〗^2)/〖|ϕ(k)|〗^2
و ϕ(k) به‌صورت ‏411 است:
‏411
ϕ(k)=1+exp⁡K.(δ_1-δ_3 )+exp⁡K.(δ_2-δ_3 )
جمله آخر معادله ‏410 را اگر در معادله ‏49 قرار دهیم و تقریب محاسبه نزدیک نقطه دیراک را بکار ببریم جمله کوچکی است و از آن صرف نظر می‌کنیم. تابع چگالی حالات در هر حالت اسپینی و در هر سلول واحد را به‌صورت ‏412 می‌نویسیم[43]:
‏412 ρ(E)=1/N_c ∑_k▒〖δ(E-t|ϕ(k)|)〗
برای ادامه محاسبات به دو مورد از ویژگی
‌های تابع دلتای دیراک در ‏413 اشاره می‌کنیم:
‏413
δ(αx)=1/|α| δ(x)
δ(x-a)=δ(a-x)
که البته ویژگی دوم از ویژگی اول واضح است یعنی اگر در دومی یک منفی فاکتور بگیریم طبق اولی قدر مطلق آن پشت عبارت ظاهر میشد. برای محاسبه رسانندگی تمام فرضیات بالا را در نظر می‌گیریم بعلاوه این که رابطه پاشندگی در گرافن به‌صورت ε=±t|ϕ(k)| است که در آن مثبت اشاره به نوار رسانش و منفی اشاره به نوار ظرفیت دارد. رسانندگی به صورت ‏414 بدست می‌آید:
‏414
Re(σ_inter )=σ_0 (πt^2 a^2)/(8A_c ℏω) ρ(ℏω/2)(18-(ℏω)^2/t^2 ){1/(1+exp⁡((-ε-μ)/(K_b T)) )-1/(1+exp⁡((ε-μ)/(K_b T)) )}
که در آن σ_0=e^2/4ℏاست. حال به فصل سوم بر میگردیم و شرایط غیر تعادلی را بررسی میکنیم. در این شرایط دو تابع توزیع فرمی جدا برای الکترون و حفره با پتانسیل شیمیایی متفاوت ولی دمای یکسان برای الکترون و حفره تعریف میکنیم. این دما با دمای شبکه گرافن متفاوت است. اگر جمله اول داخل آکولاد معادله ‏414 را با روابط کتاب‌های مرجع برای تابع توزیع حفره مقایسه کنیم، مشاهده می‌شود این رابطه دقیقا با تابع توزیع حفره یکسان است. دومین رابطه داخل آکولاد با تابع توزیع الکترون یکسان است. حال به ρ(ℏω/2) می‌پردازیم که برای انرژی پرتو 0Et رابطه ‏415 را داریم:
‏415 ρ(E)=2E/(〖√3 t〗^2 π)+(2E^3)/(3〖√3 t〗^4 π)+(10E^5)/(27〖√3 t〗^6 π)
t پارامتر جهش است که در بازه انرژی بین است. همان‌طور که گفته شد بازه انرژی مورد بررسی، مادون قرمز نزدیک است. پس در معادله ‏415 فقط جمله اول را در نظر میگیریم و در ضمن در معادله ‏414 جمله (ℏω)^2/t^2 را هم به دلیل کوچکی در نظر نمی‌گیریم. در نهایت بعد از ساده سازی، به معادله ‏416 برای رسانندگی میرسیم:
‏416
Re(σ_inter )=σ_0 {1/(1+exp⁡((-ε_h-μ_h)/(K_B T_e )) )-1/(1+exp⁡((ε_e-μ_e)/(K_B T_e )) )}
در ‏416 e منظور الکترون و h منظور حفره و K_B ثابت بولتزمن است. حال چگونه میتوان ε_(e,h) را تعیین کرد؟ برای پاسخ به این سوال به توضیحات قبل مراجعه میکنیم که گفتیم ساختار باندی گرافن متقارن است پس اگر انرژی به آن بدهیم نصف آن صرف جابجایی الکترون تا نقطه دیراک و نصف آن صرف بالا بردن آن در نوار رسانش می‌شود پس داریم:
‏417 ε_h=ε_e~ℏω/2
در این جا یک توضیح مورد نیاز است آن هم مقایسه جواب ما با جواب مقاله های مرجع برای رسانندگی الکتریکی گرافن که در ابتدای فصل ذکر شدند که در آن ها رسانندگی به شکل ‏418 بیان شده است:
‏418
Re(σ_inter )=1/2 σ_0 {Tanh((ℏω+2μ_h)/(4K_B T_e ))+Tanh((ℏω-2μ_e)/(4K_B T_e ))}
که این جواب با مقداری انجام کارهای تحلیلی روی رابطه ‏416 بدست میآید. از دیدگاه ما این کار اصلا نیاز نیست. به عبارت بهتر شکل فیزیکی مسئله که با تابع توزیع در رابطه ‏416 مشخص شده را به هم میزند. برای اثبات یکسان بودن دو تابع آن ها را به صورت دو تابع جدا به ازای a=ℏω/(2K_B T) و b=μ_e/(K_B T) و c=μ_h/(K_B T) رسم میکنیم:

شکل ‏42 رسم تابع 1/(1+exp⁡((-ε_h-μ_h)/(K_B T_e )) )-1/(1+exp⁡((ε_e-μ_e)/(K_B T_e )) ) به ازای a=1.8

شکل ‏43 رسم تابع 1/2{Tanh((ℏω+2μ_h)/(4K_B T_e ))+Tanh((ℏω-2μ_e)/(4K_B T_e ))} به ازای a=1.8
همان‌طور که ملاحظه می‌کنیم دو تابع کاملا منطبق‌اند و علت این که هر دو را در یک تصویر رسم نکردیم تطابق کامل آن‌ها با هم بود که مانع از مقایسه می‌شد. معادله دیگری که در مقالات برای رسانندگی ذکر شده به‌صورت ‏419 است:
‏419 Re(σ_inter )=σ_0 (sinh⁡(ℏω/(2K_B T)))/(cosh(μ/(K_B T))+cosh⁡(ℏω/(2K_B T)))
که این رابطه برای شرایط تعادل است که در آن پتانسیل شیمیایی برای کل سیستم یکسان است که این رابطه نیز با روابط قبل فرقی ندارد.
رابطه رسانندگی و تقویت نوری
در این بخش رابطه تقویت نوری و رسانندگی را معرفی میکنیم. برای این کار یک موج تخت را در نظر میگیریم. موج تخت به‌صورت موجی تعریف می‌شود که در هر لحظه از زمان، فاز آن در تمام نقاط واقع بر هر یک از صفحات عمود بر راستای مشخصی یکسان است. شکل موج تخت به‌صورت زیر است[49]:
‏420 E(r,t)=E ̂e^(-i(ωt-κ.r))
که در آن E ̂ بردار دامنهی ثابت مختلط موج تخت است و κ بردار انتشار است. بردار انتشار برای محیطهای نارسانا حقیقی است اما برای محیط‌های رسانا یک قسمت موهومی دارد. موج الکتریکی و مغناطیسی را برای محیط‌های رسانا به‌صورت زیر می‌نویسیم:
‏421
E(r,t)=E ̂e^(-i(ωt-κ_r.r)) e^(-κ_i.r)
B(r,t)=B ̂e^(-i(ωt-κ_r.r)) e^(-κ_i.r)
ثابت‌های انتشار موهومی و حقیقی به ترتیب به‌صورت κ_r=n_eff ω/c و κ_i=σ_R/(2cϵ_0 n_eff ) تعریف می‌شود[49]. در آن Rσ قسمت حقیقی رسانندگی، ω فرکانس و n_eff ضریب شکست موثر است.
همان طور که مشخص است اگر قسمت حقیقی رسانندگی منفی شود موج تقویت و در صورت مثبت بودن موج تضعیف میشود.
بررسی جمعیت وارون در گرافن از روش پدیده شناختی
برای بررسی جمعیت وارون در گرافن، از روشی که اسم آن را پدیده شناختی گذاشته‌ایم استفاده می‌کنیم[22, 25, 50, 51] که در مرجع [51] از آن استفاده شده است. در این روش بدون در نظر گرفتن برخوردها فقط میزان برانگیختگی را به تابع می‌دهیم و این یعنی کاری به فرآیند رسیدن به این میزان برانگیختگی نداریم فقط می‌گوییم اگر این میزان برانگیختگی داشته باشیم چه زمانی به رسانندگی منفی می‌رسیم. فرضیات این روش همان است که در فصل سوم گفته شد. برای شروع تعداد حامل‌ها بر واحد سطح را برای الکترون و حفره به‌صورت ‏422 و ‏423 می‌نویسیم:
‏422
n_e=∫_0^∞▒〖dEg_2d f(E-μ)=-2/π ((K_B T_e)/(ℏν_0 ))^2 Li_2 (-e^(μ_e/(K_B T_e )))〗
‏423
n_h=∫_(-∞)^0▒〖dEg_2d (1-f(E-μ))=-2/π ((K_B T_e)/(ℏν_0 ))^2 Li_2 (-e^((-μ_h)/(K_B T_e )))〗
در آن n_e و n_h به ترتیب چگالی الکترون و حفره است.
سه معادله به صورتی
می‌نویسیم که معادله ‏424 بر اساس n_0=n_e-n_h=n_0e-n_0h نوشته شده که در آن n_0 میزان آلاییدگی اولیه است. n_0e و n_0h به ترتیب به آلاییدگی اولیه الکترون و حفره اشاره دارد. معادله ‏425 براساس n_ex=n_h-n_h0 نوشته شده که n_ex تعداد حامل‌های برانگیخته است. و معادله ‏426 بر اساس E_ex=E-E_0 است که در آن E_ex میزان خالص انرژی اضافه شده به سیستم بعد از عمل دمش و E انرژی موجود در سیستم بعد از دمش و E_0 انرژی اولیه است.
‏424
2/π ((K_B T_e)/(ℏυ_0 ))^2 (〖-Li〗_2 (-e^(μ_e/(K_B T_e )) )+Li_2 (-e^(〖-μ〗_h/(K_B T_e )) ))=2/π ((K_B T_0)/(ℏυ_0 ))^2 (〖-Li〗_2 (-e^(μ_0/(K_B T_0 )) )+Li_2 (-e^((-μ_0)/(K_B T_0 )) ))

‏425
n_ex=2/π (1/(ℏυ_0 ))^2 (-(K_B T_e

دیدگاهتان را بنویسید